在上篇算法题的文章中,我们介绍了 LeetCode 中的一道数学题 - 快乐数 。今天,我们来聊聊质数(英文是Prime,也称为素数)相关的面试题。以前很多编程书上会有个经典问题,即判断一个数是否是质数,在那之后大家应该对判定质数的逻辑有了一定的认识。今天呢,我们来解决一个进阶问题,如何计算一个区间内素数(质数)的数量。
今天要给大家分析的面试题是 LeetCode 上第 204 号问题,
LeetCode - 204. 统计质数
https://leetcode-cn.com/problems/count-primes/
题目描述
统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。
示例:
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解题思路:
- 遍历每个数,判断它是否为素数。
基于传统教科书中的算法 IsPrime
(其流程见下图)来做,即在 IsPrime
算法外套一个循环来做,由于下面流程的时间复杂度 T(n) = O(n*log n),于是整体算下来整个算法最后的时间复杂度为 O(n * n * log n),这个算法的时间复杂度是不达标的。
- 使用一个筛子,把每一个是合数的数干掉,记录其状态 isDelete,用isDelete=true表示不是质数,已被删掉,而fasle表示留下了,是质数。这个方法被称为筛法(Sieve Method)。
筛法又分为埃拉托斯特尼筛法(埃筛)和欧拉筛(线性筛)两种。埃筛是用一个数组标记是否为素数,然后依次筛去这个素数的倍数,其时间复杂度是O(n*log n)。而欧拉筛是在埃筛的基础上,让每一个合数都只被他的最小质因子筛去,从而减小时间。欧拉筛的复杂度几乎是O(n),由于其代码相对比较难理解,就不详细介绍了。
下面我们使用埃筛来统计质数数量,具体操作是从2开始维护一个bool数组isDelete来记录该数是否被删掉,依次删掉当前索引 i 的倍数,最后数组中未被删掉的值(其isDelete值为false)都是素数。
已AC代码 解法1:
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ps: 由于这段代码使用了数学库函数sqrt()
,于是本地测试需要在开头引入math
库,其代码如下:
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执行用时 : 492 ms
, 在所有 Python3 提交中击败了47.44 %
的用户.
已AC代码 解法2:
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执行用时 : 100 ms
, 在所有 Python3 提交中击败了94.27 %
的用户.
示例代码: https://github.com/JustDoPython/leetcode-python/tree/master/leetcode-204
参考资料:
Eratosthenes筛法(埃式筛法)时间复杂度分析 - Gavin_Nicholas的博客 - CSDN博客 https://blog.csdn.net/Gavin_Nicholas/article/details/88974079